条件付き確率とは？定義とわかりやすい解説

統計学の基礎

高校数学でも勉強する概念で条件付き確率（conditional probability）というのがあります。条件付き確率は統計学を学習する上でも頻出なので、ここで解説しておこうと思います。

条件付き確率とは？

条件付き確率とは、「ある事象が起こったという条件（前提）の下で別の事象が起こる確率」を指します。例えば、「事象Aが起こった上で、事象Bが起きる確率」をAにおけるBの条件付き確率、などと言います。

さらに具体例を出しますと、「とある高校でランダムに取り出した生徒の一人が、男子生徒であったときに、運動部に入っている確率」というのは、条件付き確率の一種です。

条件付き確率の定義

事象A（条件となる事象）が起こった上で、事象Bが起きる確率は、式で書くと\(P(B|A)\)と表し、その確率は、

$$P(B|A) = \frac{P(A \land B)}{P(A)} $$

によって定義されます。

事象A,Bが独立なとき

事象A,Bが独立なとき、条件付き確率は条件に左右されることなく、もとの確率を取ります。つまり、事象A,Bが独立ならば

$$ P(A|B) = P(A) $$

$$ P(B|A) = P(B) $$

となるということです。このことは、条件付き確率の定義の式からも明らかであり、二つの事象が独立なときは、\(P(A \land B) = P(A)P(B)\)が成り立つので、

$$ P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A) $$

となることからも確認できます。

事象A,Bが排反であるとき

事象A,Bが排反であるとき、事象Aと事象Bは同時に起こりません。よって\(P(A \land B) = 0\)なので条件付き確率もまた

$$P(A|B) =\frac{P(A \land B)}{P(B)} =\frac{0}{P(B)} = 0$$

より、0になります。

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