相関係数の意味と定義（公式）

統計学の基礎

ここでは、相関係数の意味と、数式における定義を説明していきます。R言語での相関係数の求め方は、Rで相関係数を求める方法を参照してください。

相関係数の意味

相関係数とは、2つの確率変数間の線形関係の強さをはかる指標です。-1以上1以下の値を取り、1に近づくほど世の相関、-1に近づくほど負の相関があるということです。すなわち、1に近づくほど、一方の確率変数の増加に対応して、もう一方の確率変数が増加し、-1に近づくほど、一方の確率変数の増加に対応して、もう一方の確率変数が減少するということです。また、相関係数が0のときは完全に相関が無い状態であり、無相関と言います。

相関係数といえば、通常はピアソンの積率相関係数を指しますが、他にもスピアマンの相関係数、ケンドールの相関係数などがあります。

相関係数の定義（ピアソン）

確率変数\(X,Y\)の相関係数\(ρ_{xy}\)(ロー)は、X,Yの分散と共分散をそれぞれ\(s_x^2,s_y^2,s{xy}\)とすると、

$$ ρ_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_xs_y} =\frac{E[(X-E[X])(Y-E[Y])]}{E[X-E[X]]E[Y-E[Y]]}$$

と定義されます。つまり、言葉でいうと

$$相関係数 = \frac{X,Yの共分散}{Xの標準偏差×Yの標準偏差}$$

となります。

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