期待値とは?定義や性質を解説

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期待値とは(Expected Value)

期待値とは、確率変数がとる値を確率によって重みづけした平均値です。簡単にいうと、確率変数が取ると「期待」される値です。

期待値の定義

期待値の定義は、離散型確率変数連続型確率変数とで異なります。

離散型確率変数の場合

離散型確率変数は、サイコロの目のように飛び飛びの値を取ります。この場合の期待値は以下のような式で表現されます。

E(X)=i xifX(xi)E(X) = \displaystyle \sum_{ i  } x_if_X(x_i)

連続型確率変数の場合

連続型確率変数は、身長のように連続した値を取ります。この場合の期待値は以下のような式で表現されます。

E(X)=xf(x)dxE(X) = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } xf(x) dx

期待値の性質

期待値E(X)E(X)には、以下に述べるような性質があります。式変形をする上でよく使うので覚えておきましょう。

性質

式変形

期待値の線形性

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)

期待値の単調性

XYE(X)E(Y) X ≦ Y \longrightarrow E(X) ≦ E(Y)

X2X^2の期待値

E(X2)=x2f(x)dxE(X^2) = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx

独立な2つの確率変数X,YX,Yの期待値

E(XY)=E(X)E(Y) E(XY) = E(X)E(Y) 

期待値と平均の違い

期待値とよく似た言葉に、平均というのがあります。場合によって、期待値は平均と同じ意味で使われていたりしますが、平均は標本の平均値を指す場合もあります。

標本サイズNの観測データx1,x2,...,xNx_1,x_2,...,x_Nについて、期待値と平均がどのように定義されるかを考えます。

母集団からX=xiX = x_iという値が観測される確率をpip_iとします。
また、NN回の観測において、X=xiX = x_iが観測される回数をNiN_iと置きます。

そうすると、期待値μμと平均xˉ\bar{x}はそれぞれ次の式で表されます。

μ= ixipiμ =  \displaystyle \sum_{ i }x_ip_i

xˉ=ixiNiN\bar{x} =\displaystyle \sum_{ i } \frac{x_iN_i}{N}

大数の法則から、標本サイズNNが∞まで大きくなるとき、pi=NiNp_i = \frac{N_i}{N}となります。
つまり、標本サイズが∞のとき、μ=xˉμ=\bar{x}が成り立ちます。

また、標本サイズが∞というのは、標本が母集団に一致していることを示しています。よって、標本が母集団と一致するとき、期待値と標本平均が等しくなると言えます。

期待値は、標本の背後に存在する母集団の平均に対応する値であり、標本の理論的な平均値(母集団の平均値)を表すものと言えます。また、理論的な平均値というのは母集団における平均であり、確率分布の期待値は母集団の平均値と一致します。

ここでは離散型確率分布の例を取り上げましたが、連続型確率分布の場合であっても同じことが言えます。

関数の期待値

確率変数XXが定義されているとき、関数u(X)u(X)もまた確率変数です。よって、この関数の期待値を考えることができ、離散型と連続型の場合で分けて以下のように表せます。

離散型確率変数の関数の期待値

E[u(X)]=i u(xi)f(xi)E[u(X)] = \displaystyle \sum_{ i  } u(x_i)f(x_i)

連続型確率変数の関数の期待値

E[u(X)]=u(x)f(x)dxE[u(X)] = \displaystyle \int_{ - \infty }^{ \infty } u(x)f(x) dx

カテゴリ: 統計学の基礎