ベイズ統計学の考え方〜ベイズ論と頻度論の違い〜

ベイズ統計といえば、事前分布、事後分布、ベイズリスク・・・という言葉を連想する方もいらっしゃると思いますが、ここでは、ベイズ統計の中でも、特に基本的な考え方についてご説明いたします。

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1 頻度論の考え方(非ベイズ的な考え方)
2 ベイズ論の考え方
3 頻度論とベイズ論、どっちがいい？

頻度論の考え方(非ベイズ的な考え方)

ベイズ統計の解釈について考えるためには、まず頻度論の考え方を理解しなければなりません。頻度論とは、得られたデータが母集団からどれくらいの頻度（確率）で発生するのか、ということを基本的な考え方とする理論です。おそらくみなさんが学習するほとんどの統計手法は、この頻度論の考えたかに基づいているかと思います。

例えば、頻度論における仮説検定では、「パラメータに関する帰無仮説を立て、得られたデータがまれに発生したのかどうか判断する」、ということをしますが、それはつまり母集団を帰無仮説の下で固定した時に、得られたデータが発生した確率を吟味し、妥当かどうかを判断するということです。ここで重要なのは、パラメータを固定し、データが動くということです。これを数学的に言い換えますと、パラメータが定数、データが変数（確率変数）ということになり、そのような統計学を、頻度論と言います。

ベイズ論の考え方

ここまで言えばもうわかる人もいるかもしれませんが、上記の頻度論の考え方に対し、ベイズ論の考え方は、全くの逆です。つまり、パラメータが変数（確率変数）、データが定数となります。つまりデータを固定した上で、パラメータを動かすということになります。言い換えると、いま手元にあるデータが、どのようなパラメータに基づく母集団から得られたのか、を考えるということです。

話をわかりやすくするために、例を用いて考えることにしましょう。

例

男性の身長について考えまる。いま男性の身長の母集団分布が平均\(\mu\)（未知パラメータ）、分散\(10^2\)の正規分布に従っていて、そこから\(30\)人調査して標本平均\(177\)cmを得たとする。

このとき頻度論では、母平均が\(\mu\)（未知だが、実際に存在する値＝定数）である母集団に対し、得られたデータ\(177\)cmがどのくらいの確率で得られるか、さらには得られたデータから母平均を推測、検定・・・ということを考えます。

対してベイズ論では、\(177\)cmというデータが、どのような（母平均が\(\mu\)である）母集団から得られる確率が高いか、ということを考えます。例えば、母平均が\(177\)cmである母集団からデータ\(177\)cmが得られる確率は高いですが、母平均が\(165\)cmである母集団からデータ\(177\)cmが得られる確率は低くなります。このように、母平均\(\mu\)を動かして考える、つまり、パラメータ\(\mu\)を変数として考えるのがベイズ論の考え方です。

ベイズ統計ではパラメータ\(\mu\)は確率変数ですから、分布を持ちます。上記の例でいうと、パラメータ\(\mu\)が\(177\)cmであるとき、標本平均\(177\)cmというデータを得られる確率が最も高いので、平均を\(177\)とし、分散\(\sigma^2\)の正規分布に従うとすると、\(\mu 〜N(177,\sigma^2)\)と表記することができます。これは、頻度論では見慣れない書き方ですね。

補足：上記の例では\(177\)cmは頻度論における最尤推定量になります。ベイズ統計では上記の例に事前情報を考慮するので、実際には\(\mu\)の平均は最尤推定量と一致しないことがほとんどです（参考：『ベイズ推定と最尤推定の違いを例題を用いて解説』）。