2016/12/31
2020/05/05
ベルヌーイ分布のわかりやすいまとめ
ベルヌーイ分布に関する性質をわかりやすくまとめました。
確率質量関数 | \(f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}\) |
期待値 | \(E(X)=p\) |
分散 | \(V(X)=p(1-p)\) |
ベルヌーイ分布とはどのようなものか
ベルヌーイ分布とは、「成功か失敗か」「表か裏か」「勝ちか負けか」のように2種類のみの結果しか得られないような実験、試行(ベルヌーイ試行)の結果を0と1で表した分布を指します。
1である確率がpであるとき0である確率は1-pとなる、非常にシンプルな確率分布です。
ベルヌーイ分布の確率質量関数
ベルヌーイ分布の確率質量関数は
\(f(k;p)=p^k(1-p)^{(1-k)}\)
で表します。kが成功か失敗を表すパラメータ(1の時成功、0の時失敗を表す)で、pは成功確率を表します。
この確率質量関数は(成功時(パラメータ\(k=1\)のとき)に成功確率のpとなり、失敗時(パラメータ\(k=0\)のとき)に失敗確率1-pとなることをやや複雑に示しただけです。
ベルヌーイ分布の期待値・分散
期待値
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum kP(X=k)\\&=&p\end{eqnarray*}\)
分散
\(\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&p(1-p) \end{eqnarray*}\)
期待値と分散の詳しい導出方法はこちらをご覧ください。
ベルヌーイ分布と二項分布
ベルヌーイ試行を繰り返し行い、その成功回数の分布が二項分布となります。
二項分布の確率質量関数は
\(P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\)
で表します。ここで、nはベルヌーイ試行の回数、pはベルヌーイ試行の成功確率を表し、kに成功回数を代入するとその確率を計算することができます。
(totalcount 83,323 回, dailycount 267回 , overallcount 15,788,508 回)
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