二項分布の期待値・分散の導出（証明）

二項分布

確率質量関数	$$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$$
期待値	$$E(X)=np$$
分散	$$V(X)=np(1-p)$$
積率母関数	$$M_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n$$

※\(\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}\)は\(_n C_k\)と同義

当ページは確立質量関数からの二項分布の期待値・分散の導出過程を記しています。積率母関数（モーメント母関数）からの導出を知りたい方は、積率母関数を用いた二項分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

期待値の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\ _n C_k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{n {(n-1)}!}{{(n-k)}!{(k-1)}!}p p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&np\sum_{k=0}^{n}\frac{{(n-1)}!}{{((n-1)-(k-1))}!{(k-1)}!}p^{k-1}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&np\end{eqnarray*}\)

分散の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^2\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k^2\ _n C_k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{{(n-k)}!k!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}\end{eqnarray*}\)

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^{k}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)!}{{(n-k)}!(k-2)!}p^2p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=&n(n-1)p^2\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-2)!}{{((n-2)-(k-2))}!(k-2)!}p^{k-2}{(1-p)}^{n-k}+np\\ &=&n(n-1)p^2+np\end{eqnarray*}\)

\(\begin{eqnarray*}V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&n(n-1)p^2+np-{(np)}^2\\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}\)

 

二項分布についてさらに詳しくは二項分布のわかりやすいまとめをご覧いただければと思います。

二項分布