二項分布の最頻値を導出（確率質量関数より）

二項分布

二項分布の最頻値を確率質量関数から導出する過程を記しました。

・最頻値の説明はこちら→最頻値の求め方

・二項分布ついて→二項分布のわかりやすいまとめ

二項分布の最頻値

二項分布の確率質量関数は次式で表されます。

$$f\left( x\right) =\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix}p^{x}q^{n-x}$$

最頻値とは、確率質量関数\(f(x)\)が最大となる\(x\)をさします。そして、この場合\(f(x)\)は常に正の値をとるので、

\(\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -f\left( x-1\right) ≧0\\ \end{eqnarray*}\)

を満たす最大のxが最頻値です。

\(\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow&\dfrac {f\left( x\right) }{f\left( x-1\right) }≧1\\ &\Leftrightarrow&\dfrac {\left( n-x+1\right) !\left( x-1\right) !p}{\left( n-x\right) !x!q}≧1\\ &\Leftrightarrow&\dfrac {\left( n-x+1\right) p}{xq}≧1\\ &\Leftrightarrow&x\left( p+q\right) ≦p\left( n+1\right)\end{eqnarray*}\)

\(p+q = 1\) より、

\(\begin{eqnarray*} &\Leftrightarrow&x≦p\left( n+1\right) \end{eqnarray*}\)

よって最頻値\(x\)は、

\(p(n+1)-1≦x≦p(n+1)\)

を満たす整数\(x\)となります。(等号成立時に最頻値は二つになります。)

二項分布