2017/11/16

2020/04/14

二項分布の歪度・尖度の導出

二項分布

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当ページでは、二項分布の歪度、尖度の導出過程を記しています。

二項分布ついて詳しくは二項分布のわかりやすいまとめをご覧いただければと思います。

二項分布の歪度の導出

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( X-\mu\right) ^{3}\right] &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +3\mu^{2}E\left( X\right) -E\left( \mu^{3}\right) \\ &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +2\mu^{3}\end{eqnarray*}\)

また、

\(\begin{eqnarray*}E\left( X^{3}\right) &=&\frac {d^{3}M_{X}\left( t\right) }{dt^{3}}\left( t=0\right) \\ &=&\{n\left( n-1\right) \left( e^{t}p+q\right) ^{n-2}\left( pe^t\right) ^{2}+np\left( e^{t}p+q\right) ^{n-1}e^{t}\}’\left( t=0\right) \\ &=&n\left( n-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+3n\left( n-1\right) p^{2}+np\end{eqnarray*}\)

となるので、

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( X-\mu\right) ^{3}\right] &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +2{\mu}^3\\ &=&M\left( N-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+3n\left( n-1\right) p^{2}+np -3np\left\{ n\left( n-1\right) p^{2}+np\right\} +2n^{3}p^{3}\\ &=&np\left( p-1\right) \left( 2p-1\right)\end{eqnarray*}\)

よって、歪度は

\(\begin{eqnarray*}\dfrac {E\left[ \left( x-\mu\right) ^{3}\right] }{\sigma^{3}}&=&\dfrac {np\left( p-1\right) \left( 2p-1\right) }{np\left( 1-p\right) \sqrt {np\left( 1-p\right) }}\\ &=&\dfrac {1-2p}{\left( 1-p\right) \sqrt {np\left( 1-p\right) }}\end{eqnarray*}\)

二項分布の尖度の導出

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( x-\mu\right)^4\right] =E\left( X^{4}\right) -4μE\left( X^{3}\right) +6μE\left( X^{2}\right) -3\mu^4\end{eqnarray*}\)

また、

\(\begin{eqnarray*}E\left( X^{4}\right) &=&\dfrac {d^{4}M_{x}\left( t\right) }{dt^{4}}\left( t=0\right) \\ &=&n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) p^{4}+6n\left( n-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+7n\left( n-1\right) p^{2}+np\end{eqnarray*}\)

となるので、

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( x-\mu\right) ^{4}\right] &=&3n\left( n-2\right) p^{4}-6n\left( n-2\right) p^{3}+n\left( 3n-7\right) p^{2}+np\\ &=&np\left( 3np^{3}-6p^{3}-6np^{2}+12p^{2}+3np-7p+1\right) \\ &=&np\left( 1-p\right) \left\{ 1+3\left( n-2\right) p\left( 1-p\right) \right\} \end{eqnarray*}\)

よって、尖度は

\(\begin{eqnarray*}\dfrac {E\left[ \left( x-\mu\right)^4\right] }{\sigma^{4}}-3&=&\dfrac {np\left( 1-p\right) \left( 1+3(n-2\right) p\left( 1-P\right) }{n^{2}p^{2}\left( 1-p\right) ^{2}}-3\\ &=&\dfrac {1-6p\left( 1-p\right) }{np\left( 1-p\right) ^{2}}\end{eqnarray*}\)

(totalcount 5,748 回, dailycount 19回 , overallcount 15,787,871 回)

ライター:

二項分布

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  • aist 2018.6.8 4:44 PM

    二項分布の歪度の導出の2行目で誤植があります

    E[x^2]ではなく、E[x^3]です

  • IMIN 2018.6.10 11:35 AM

    ご指摘ありがとうございます!
    訂正させていただきました。

  • aist 2018.6.8 4:44 PM

    二項分布の歪度の導出の2行目で誤植があります

    E[x^2]ではなく、E[x^3]です

  • IMIN 2018.6.10 11:35 AM

    ご指摘ありがとうございます!
    訂正させていただきました。