二項分布の歪度・尖度の導出

二項分布

当ページでは、二項分布の歪度、尖度の導出過程を記しています。

二項分布ついて詳しくは二項分布のわかりやすいまとめをご覧いただければと思います。

二項分布の歪度の導出

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( X-\mu\right) ^{3}\right] &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +3\mu^{2}E\left( X\right) -E\left( \mu^{3}\right) \\ &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +2\mu^{3}\end{eqnarray*}\)

また、

\(\begin{eqnarray*}E\left( X^{3}\right) &=&\frac {d^{3}M_{X}\left( t\right) }{dt^{3}}\left( t=0\right) \\ &=&\{n\left( n-1\right) \left( e^{t}p+q\right) ^{n-2}\left( pe^t\right) ^{2}+np\left( e^{t}p+q\right) ^{n-1}e^{t}\}’\left( t=0\right) \\ &=&n\left( n-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+3n\left( n-1\right) p^{2}+np\end{eqnarray*}\)

となるので、

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( X-\mu\right) ^{3}\right] &=&E\left( X^{3}\right) -3μE\left( X^{2}\right) +2{\mu}^3\\ &=&M\left( N-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+3n\left( n-1\right) p^{2}+np -3np\left\{ n\left( n-1\right) p^{2}+np\right\} +2n^{3}p^{3}\\ &=&np\left( p-1\right) \left( 2p-1\right)\end{eqnarray*}\)

よって、歪度は

\(\begin{eqnarray*}\dfrac {E\left[ \left( x-\mu\right) ^{3}\right] }{\sigma^{3}}&=&\dfrac {np\left( p-1\right) \left( 2p-1\right) }{np\left( 1-p\right) \sqrt {np\left( 1-p\right) }}\\ &=&\dfrac {1-2p}{\left( 1-p\right) \sqrt {np\left( 1-p\right) }}\end{eqnarray*}\)

二項分布の尖度の導出

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( x-\mu\right)^4\right] =E\left( X^{4}\right) -4μE\left( X^{3}\right) +6μE\left( X^{2}\right) -3\mu^4\end{eqnarray*}\)

また、

\(\begin{eqnarray*}E\left( X^{4}\right) &=&\dfrac {d^{4}M_{x}\left( t\right) }{dt^{4}}\left( t=0\right) \\ &=&n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) p^{4}+6n\left( n-1\right) \left( n-2\right) p^{3}+7n\left( n-1\right) p^{2}+np\end{eqnarray*}\)

となるので、

\(\begin{eqnarray*}E\left[ \left( x-\mu\right) ^{4}\right] &=&3n\left( n-2\right) p^{4}-6n\left( n-2\right) p^{3}+n\left( 3n-7\right) p^{2}+np\\ &=&np\left( 3np^{3}-6p^{3}-6np^{2}+12p^{2}+3np-7p+1\right) \\ &=&np\left( 1-p\right) \left\{ 1+3\left( n-2\right) p\left( 1-p\right) \right\} \end{eqnarray*}\)

よって、尖度は

\(\begin{eqnarray*}\dfrac {E\left[ \left( x-\mu\right)^4\right] }{\sigma^{4}}-3&=&\dfrac {np\left( 1-p\right) \left( 1+3(n-2\right) p\left( 1-P\right) }{n^{2}p^{2}\left( 1-p\right) ^{2}}-3\\ &=&\dfrac {1-6p\left( 1-p\right) }{np\left( 1-p\right) ^{2}}\end{eqnarray*}\)

二項分布