積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値と分散の導出

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公式の確認

まずは公式を確認しましょう。

積率母関数

MX(t)=(112t)k2M_{X}(t)={(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}

期待値

E(x)=kE(x)=k

分散

V(x)=2kV(x)=2k

また、ガンマ関数の性質についても確認しておきましょう。

Γ(k)=0tk1etdt\Gamma(k)=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } t^{k-1} \mathrm{e}^{-t} dt

Γ(k)=(k1)Γ(k1)\Gamma(k)=(k-1)\Gamma(k-1)

Γ(k+1)=k!\Gamma(k+1) = k!

Γ(12)=π\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

積率母関数の導出

MX(t)=E(etX)=0etxf(x)dx=0etxxk21ex2Γ(k2)2k2dx=0xk21ex2+txΓ(k2)2k2dx=0xk21e(12t2)xΓ(k2)2k2dx=0xk21e(12t2)xΓ(k2)(12t)k2(212t)k2dx=(12t)k20xk21e(12t2)xΓ(k2)(212t)k2dx=(112t)k2\begin{equation*}\begin{split}M_{X}(t)&=E(\mathrm{e}^{tX})\\&=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}+tx}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}){(1- 2t)}^{\frac{k}{2}} {(\frac{2}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &={(1-2t)}^{-\frac{k}{2}} \displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}) {(\frac{2}{1-2t})}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &={(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}} \end{split}\end{equation*}

補足

xk21e(12t2)xΓ(k2)(212t)k2\begin{equation*}\begin{split} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{{(-\frac{1-2t}{2}})x}}{\Gamma(\frac{k}{2}) {(\frac{2}{1-2t})}^{\frac{k}{2}}}\end{split}\end{equation*}

この式の212t\begin{equation*}\begin{split}\frac{2}{1-2t}\end{split}\end{equation*}θ\thetaとすると、以下となる。

xk21exθΓ(k2)θk2\begin{equation*}\begin{split}\frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(\frac{k}{2})\theta^{\frac{k}{2}}}\end{split}\end{equation*}

これは尺度母数がθ\theta、形状母数がk2\frac{k}{2}ガンマ分布の確率密度関数である。

そのため、

0xk21exθΓ(k2)θk2dx=1\begin{equation*}\begin{split}\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(\frac{k}{2})\theta^{\frac{k}{2}}}dx=1\end{split}\end{equation*}

は確率密度関数を確率変数がとりうる値において全て足しあわせた値であるため、1である。

(ある事象における全ての確率を足すと1になることと同義)

期待値の導出

E(X)=dMX(t)dtt=0=k(112t)k21(112t)t=0=k2(112t)k212(12t)2t=0=k(112t)k2+1t=0=k\begin{equation*}\begin{split}E(X)&=\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=\left.k {(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}-1} {(\frac{1}{1-2t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.\frac{k}{2} {(\frac{1}{1-2t})}^{\frac{k}{2}-1} \frac{2}{{(1-2t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1}\right|_{t=0}\\ &=k\end{split}\end{equation*}

分散の導出

E(X2)=d2MX(t)dt2t=0=(k(112t)k2+1)t=0=k(k(112t)k2+1+1)(112t)k2(112t)t=0=k(k2+1)(112t)k22(12t)2t=0=k(k2+1)2=k(k+2)V(X)=E(X2)(E(X))2=k(k+2)k2=2k\begin{equation*}\begin{split}E(X^2)&=\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=\left.{(k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(k{(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}+1}+1) {(\frac{1}{1-2t})}^{\frac{k}{2}} {(\frac{1}{1-2t})}'\right|_{t=0}\\ &=\left.k(\frac{k}{2}+1){(\frac{1}{1- 2t})}^{\frac{k}{2}} \frac{2}{{(1-2 t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=k(\frac{k}{2}+1)2\\&=k(k+2)\\\\ V(X)&=E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=k(k+2)-{k}^2\\ &=2k\end{split}\end{equation*}

カテゴリ: カイ二乗分布

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