2016/12/12
2020/04/14
連続一様分布の平均・分散の導出(証明)
確率密度関数 | \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} & (a\leq {x} \leq {b}) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right.\) |
期待値 | \(E(X)=\frac{1}{2}(a+b)\) |
分散 | \(V(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\) |
積率母関数 | \(\frac{{\mathrm{e}^{tb}}-{\mathrm{e}^{ta}}}{t(b-a)}\) |
当ページは確率密度関数からの連続一様分布の平均・分散の導出過程を記しています。積率母関数の導出および積率母関数からの導出を読みたい人は、積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出のページをご覧ください。
※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。
期待値の導出
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{a} xf(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } xf(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } xf(x)dx\\ &=&0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b}\\ &=&\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}\)
分散の導出
\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{a} x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2f(x)dx+\displaystyle \int_{b}^{ \infty } x^2f(x)dx\\ &=&0+\displaystyle \int_{ a }^{ b } x^2\frac{1}{b-a}dx+0\\ &=&\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b}\\ &=&\frac{1}{b-a}\frac{{b^3}-{a^3}}{3}\\ &=&\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&\frac{{a^2}+ab+{b^2}}{3}-{(\frac{a+b}{2})}^2\\ &=&\frac{{(b-a)}^2}{12} \end{eqnarray*}\)
COMMENT
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Take 2016.12.13 1:57 PM
積率母関数の導出もお願いします。
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y0he1 2016.12.14 4:39 PM
コメントありがとうございます。
一様分布の積率母関数の導出については積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出に記述しましたので、ご覧ください。 -
Take 2016.12.20 5:00 PM
素早い返事、ありがとうございます。
Take 2016.12.13 1:57 PM
積率母関数の導出もお願いします。
y0he1 2016.12.14 4:39 PM
コメントありがとうございます。
一様分布の積率母関数の導出については積率母関数を用いた連続一様分布の平均・分散の導出に記述しましたので、ご覧ください。
Take 2016.12.20 5:00 PM
素早い返事、ありがとうございます。