積率母関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出

離散一様分布

確率質量関数	\(f(x) = \frac{1}{N}\)
期待値	\(E(X)=\frac{N+1}{2}\)
分散	\(V(X)=\frac{N^2-1}{12}\)
積率母関数	\(M_X(t)=\frac{\mathrm{e}^t}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^t}\)

当ページは積率母関数(モーメント母関数)から離散一様分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率質量関数からの導出を読みたい人は、離散一様分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの？」という人は、積率母関数とは？モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

離散一様分布の積率母関数（モーメント母関数）の導出

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\frac{1}{N}\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\mathrm{e}^{tk}\\ &=&\frac{1}{N}\frac{\mathrm{e}^{t}(1-\mathrm{e}^{tN})}{1-\mathrm{e}^{t}}\\ &=&\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}} \end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた期待値の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.(\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}})’\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^{t}}+\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\right|_{t=0}\\ \end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\lim_{t \to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}}{N}\frac{(1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)}{(1-\mathrm{e}^{t})^2}\\ &=&\lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{e}^{t}((1-\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})+(-N\mathrm{e}^{tN})(1-\mathrm{e}^{t})-(1-\mathrm{e}^{tN})(-\mathrm{e}^t)))”}{(N(1-\mathrm{e}^{t})^2)”}\\ &=&\frac{N^2+N}{2N}\\ &=&\frac{N+1}{2}\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた分散の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{m_X}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\end{eqnarray*}\)

離散一様分布