離散一様分布の期待値と分散の導出

離散一様分布

確率質量関数	\(f(x) = \frac{1}{N}\)
期待値	\(E(X)=\frac{N+1}{2}\)
分散	\(V(X)=\frac{N^2-1}{12}\)
積率母関数	\(M_X(t)=\frac{\mathrm{e}^t}{N}\frac{1-\mathrm{e}^{tN}}{1-\mathrm{e}^t}\)

当ページは確立密度関数からの離散一様分布の期待値・分散の導出過程を記しています。積率母関数（モーメント母関数）からの導出を知りたい方は、積率母関数を用いた離散一様分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

期待値の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=1}^{N}kP(X=k)\\ &=&\sum_{k=1}^{N}k\frac{1}{N}\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k\\ &=&\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}\\ &=&\frac{N+1}{2}\end{eqnarray*}\)

分散の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\sum_{k=1}^{N}k^2P(X=k)\\ &=&\sum_{k=1}^{N}k^2\frac{1}{N}\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}k^2\\ &=&\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\ &=&\frac{(N+1)(2N+1)}{6}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&\frac{(N+1)(2N+1)}{6}-{(\frac{N+1}{2})}^2\\ &=&\frac{N^2-1}{12} \end{eqnarray*}\)

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