積率母関数を用いた指数分布の期待値・分散の導出

指数分布

確率密度関数	\(f(X;λ) = λe^{-λx}\)
期待値	\(\begin{eqnarray*}E(X)=\frac{1}{λ}\end{eqnarray*}\)
分散	\(\begin{eqnarray*}V(X)=\frac{1}{λ^2}\end{eqnarray*}\)
積率母関数	\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

当ページは積率母関数からの指数分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、指数分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの？」という人は、積率母関数とは？モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

 

積率母関数の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \mathrm{e}^{tx}f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}dx\\ &=&\lambda\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }\mathrm{e}^{-(\lambda – t) x}dx\\ &=&\lambda \left[\frac{\mathrm{e}^{(t-\lambda)x}}{t-\lambda}\right]_{0}^{\infty}\\ &=&\frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1)\\ &=&\frac{\lambda}{\lambda-t}\end{eqnarray*}\)

期待値の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_X}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\frac{1}{\lambda}\end{eqnarray*}\)

分散の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_X}(t)}{d{t}^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.({\frac{\lambda}{{(\lambda-t)}^2}})’\right|_{t=0}\\ &=&\left.\frac{-\lambda 2 (\lambda-t)(-1)}{{(\lambda-t)}^4}\right|_{t=0}\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&\frac{2}{{\lambda}^2}-\frac{1}{{\lambda}^2}\\ &=&\frac{1}{{\lambda}^2}\end{eqnarray*}\)

指数分布