ガンマ分布の期待値と分散を密度関数から導出する

ガンマ分布

確率密度関数	\(f(x)=\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}\)
期待値	\(E(X)=k\theta\)
分散	\(V(X)=k{\theta}^{2}\)
積率母関数	\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- \theta t})}^{k}\end{eqnarray*}\)

当ページは確率密度関数からのガンマ分布の平均・分散の導出過程を記しています。

積率母関数の導出及び、積率母関数からの期待値・分散の導出は、積率母関数を用いたガンマ分布の期待値・分散の導出をご覧ください。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k \theta x^{(k+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+1)\theta^{k+1}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k \theta \end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^{k}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}\Gamma(k+1)\theta^{-1} \theta^{k+1}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{k^{-1}{(k+1)}^{-1}\Gamma(k+2)\theta^{-2} \theta^{k+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k(k+1) \theta^{2}x^{(k+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k+2) \theta^{k+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k(k+1) \theta^{2}\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&k(k+1) \theta^{2}-{(k \theta)}^2\\ &=&k{\theta}^2\end{eqnarray*}\)

ガンマ分布