正規分布の母平均の検定手順（母分散既知,Z検定）

ライター：IMIN

ここでは、正規分布の母平均に関する仮説検定において、母分散$σ^2$が既知の場合どのように行うのか（Z検定とも呼ばれる）について解説していきます。そもそも仮説検定が分からないという方は、仮説検定とは？初心者にも分かりやすく解説をご覧ください。

当ページでは、標本$x_1,x_2,…x_n$が互いに独立に正規分布$N(μ,σ^2)$に従うことを仮定します。

また、この検定では下記を既知な値とします。

・母分散 $σ^2$
・帰無仮説による母平均 $μ_0$
・標本平均 $\bar{x}$
・標本数 $n$

1 両側検定の場合
2 片側検定の場合
3 例題
4 まとめ

両側検定の場合

帰無仮説$H_0$: $μ = μ_0$
対立仮説$H_1$: $μ ≠ μ_0$

はじめに標準化を行います。今回は母平均に関する仮説検定を行うので、検定統計量としては、標本平均$\bar{x}$を使います。帰無仮説$H_0$の下で$\bar{x}$~$N(μ_0,\frac{σ^2}{n})$となるので、

$$ z = \frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}} ～N(0,1) $$

と標準化します。

これを有意水準5％での検定だとしましょう。標準正規分布表によると P(|z|≧1.96) = 0.05 です。よって、zの絶対値である|z|が1.96より大きいとき帰無仮説$H_0$を棄却します。

有意水準1％での検定だとするとどうなるでしょうか。これまた、標準正規分布表から、P(|z|≧2.58) = 0.01となることが分かるので、zの絶対値である|z|が2.58より大きいとき帰無仮説$H_0$を棄却します。

まとめると、標本平均$\bar{x}$に関して次のように棄却域が得られます。

有意水準5%ならば $|\bar{x}-μ_0|≧1.96\frac{σ}{\sqrt{n}}$

有意水準1％ならば $|\bar{x}-μ_0|≧2.58\frac{σ}{\sqrt{n}}$

つまり、$\bar{x}$が上記の式を満たしているとき、帰無仮説$H_0$を棄却するということです。

片側検定の場合

帰無仮説$H_0$: $μ = μ_0$
対立仮説$H_1$: $μ > μ_0$　または　$H_1$: $μ < μ_0$

片側検定では対立仮説は２通り書けます。どちらも手順は同じなので、以下 $μ > μ_0$の場合についてのみ解説します。

両側検定と同じく標準化を行い、帰無仮説$H_0$の下で

$$ z = \frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}} ～N(0,1) $$

となります。

もし、対立仮説の方が正しければ、検定統計量$\bar{x}$は帰無仮説の場合よりも大きな値を取る確率が高くなります。つまり、棄却域は帰無仮説の下で、$\bar{x}$が大きな値を取る確率が有意水準αとなるように定めます。

標準正規分布zに対して、標準正規分布表から、P(z≧1.645) = 0.05、P(z≧2.33) = 0.01であることから棄却域は、

有意水準5%ならば $\bar{x}-μ_0≧1.645\frac{σ}{\sqrt{n}}$

有意水準1％ならば $\bar{x}-μ_0≧2.33\frac{σ}{\sqrt{n}}$

となります。

例題

A高校の入学試験は毎年6000人の人が受験する。過去の入試の結果は平均400点、標準偏差120の正規分布に従う。今年の入学試験も例年同様6000人の人が受験し、採点官の田中さんの採点分45人の平均点は$\bar{x}$=440点、標準偏差は$\hat{σ}$ = 90であった。この結果から志願者のレベルは向上していると言えるだろうか。有意水準5%、1%それぞれで検定した結果を答えよ。

解説

この問題では、母標準偏差120が与えられている。よって正規分布の母分散既知の場合の検定が適用できる。はじめに、二つの仮説を立てる。検証したいのは、学力の向上なので、片側対立仮説を採用する。今回の入試結果の母平均$μ$について

帰無仮説$H_0$: $μ = 400$（母平均は過去の入試と変わらず400点）
対立仮説$H_1$: $μ > 400$（母平均は過去の入試の400点より高い）

が今回の検定で用いられる仮説となる。

次に標準化を行う。$H_0$の下で、

\begin{eqnarray}z &=& \frac{\bar{x}-μ_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}} ～N(0,1) \\\\&=& \frac{440-400}{\frac{120}{\sqrt{45}}} ～N(0,1) \\\\&≒& 2.236\end{eqnarray}

となる。標準正規分布表より、

有意水準5%のとき $\bar{x}-μ_0≧1.645\frac{σ}{\sqrt{n}}$

有意水準1％のとき $\bar{x}-μ_0≧2.33\frac{σ}{\sqrt{n}}$

が棄却域となるので、$H_0$は有意水準５％で棄却されるが、有意水準1％では棄却されない。

答えは、

有意水準5％で仮説検定したとき、志願者の学力レベルは向上したと言える。
有意水準１％で仮説検定したとき、志願者の学力レベルは向上したと言えない。

となる。

まとめ

今回は、母分散が”既知”の場合の正規分布に従う検定について解説しました。これが、仮説検定の中で最も基本的な手法となります。しかし実際の場面では、母分散は”未知”の場合が多くなります。その場合は、t分布というものを使ってt検定と呼ばれるものを行います。これについては、別ページにて紹介いたしますのでそちらも読んでいただけたら幸いです。→t検定とは？種類と手順を解説！

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ライター：IMIN

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