余因子行列を用いた逆行列の求め方と例題

線形代数

当ページでは余因子行列を用いた逆行列の求め方について説明します。

逆行列の求め方には、掃き出し法を用いた方法もあり、そちらは掃き出し法を用いた逆行列の求め方に詳細に記載しました。問題によって、簡単にできそうなやり方を選択して、なるべく楽に解きましょう！

求め方

まずは、公式をご紹介いたします。

これを使えば、余因子行列と行列式を求めることで、逆行列を計算できます。（少々面倒ですが、、）

余因子行列で逆行列を求める例題

では、具体的にどのようにして求めるのか、実際に例題をやってみましょう。次のような問題を考えます。

解答

行列式\( |A| \)をサラスの公式を用いて求めます(余因子展開で求めることもできます)。

\( |A| = 2×2×1+0×2×4+1×0×1-1×2×4-2×0×2-0×1×1  \)

\(=-4\)

次に\(\tilde{ A }\)を求めます。

行列\(A \)に対する\(  (i,j)  \)余因子をすべて求めます。

\(  \begin{pmatrix} (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}\\  (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} &  (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} & (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}  \\ (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}                         \end{pmatrix}              \)

\(=\begin{pmatrix}    2&7&-8 \\ 0&-2&0 \\ -2&-3&4            \end{pmatrix}         \)

これを転置することで\(\tilde{ A }\)を求めることができます。

\(\tilde{ A } = \begin{pmatrix}   2&0&-2 \\  7&-2&-3 \\ -8&0&4            \end{pmatrix}    \)

\(A^{-1} = \frac{ 1 }{ | A | } \tilde{ A }\)より、

\(A^{-1} = \frac{ 1 }{ | -4 | }\begin{pmatrix}   2&0&-2 \\  7&-2&-3 \\ -8&0&4            \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix}   -\frac{ 1 }{ 2 }&0&\frac{ 1 }{ 2 } \\ -\frac{ 7 }{ 4 }&\frac{ 1 }{ 2 }&\frac{ 3 }{ 4 } \\ 2&0&-1            \end{pmatrix}\)

となります。

よって行列\(A\)の逆行列は\( \begin{pmatrix}   -\frac{ 1 }{ 2 }&0&\frac{ 1 }{ 2 } \\ -\frac{ 7 }{ 4 }&\frac{ 1 }{ 2 }&\frac{ 3 }{ 4 } \\ 2&0&-1            \end{pmatrix}\)となります。

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