Σ記号をわかりやすく解説！！！！

解析学

高校数学の数列の計算で突然現れる「Σ記号」について説明します。
初めて見たときは突然現れたΣ記号の性質はもちろんのことΣ記号の読み方すらも分かりませんでした…
数列や統計の分野だけでなく色々な数学の分野に登場するとても便利な記号なのですが、数式をより難解に見せてしまう原因になっています。
今回の記事ではΣ記号の読み方から、添え字の含むΣ記号の書き方やΣ記号の計算について解説していきます！
全人類が分かる統計学でも多くのΣ記号が表記されているので、他の記事を理解する一助になれば幸いです！

Σ記号の読み方

Σ記号の読み方は”Σ(シグマ)記号”です。これはギリシャ文字の1つで、現代のアルファベットの「S」に当たる文字です。
シグマ記号の大文字は”Σ”で表記され、小文字は”σ”で表記されます。
どちらも数学の分野でよく表記される記号になっています！

Σ記号の意味

Σ記号はアルファベットの「S」を意味するため、「S」から始まる単語を表記する時によく用いられます。
大文字のΣ記号は合計、総和(Summetion)を意味し、小文字のσ記号は標準偏差(Standard deviation)を意味します。
前述の通りΣ記号とは”総和記号”といって、「1+2+3+4+5+6+…+100」のように繰り返し足し算する時に表記される記号です。
Σ記号には繰り返し足し算する時の条件を示すために添え字が付きます。これが一見難解に見えるのですがルールを押さえると理解できるので後述する添え字のルールについてもしっかり勉強していきましょう！

Σ記号の定義

数学に用いられるΣ記号の定義は次のようになります。
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+a_3+…+a_n $$
定義というと難しく聞こえてしまいますが、Σ記号を用いると繰り返し足し算する式をまとめて表記することが出来るというΣ記号の性質を抑えておいてください。

添え字の書き方

Σ記号の添え字の書き方が分からずに苦労した人は多いのではないのでしょうか？この機会に添え字の書き方と注意するところを抑えて克服しましょう！
添え字のルールはこちら↓

\(a_k\)は実際に繰り返す計算式

\(k=x\)の値は「kの初期値」

\(n\)の値は「\(k\)がこの値になるまで計算を繰り返す」

基本的なルールはこれのみです！
例えば\(k=1,n=3,a_k=10\)の条件の時は
$$ \sum_{k=1}^{3} 10=10+10+10 $$
ただ注意すべき点としては、nの値は必ずしも繰り返す回数ではないということです。
例えば\(k=3,n=5,a_k=10\)の条件の時は
$$ \sum_{k=3}^{5} 10=10+10+10 $$
という表記になります。

この時、\(n=5\)なので10を足す計算を5回繰り返すと思われますが、初期値が3なので\(k=3,4,5\)となるので、最終的に3回しか繰り返しません。
少し違和感を感じるところではありますが、式とにらめっこして理解してください。

Σ記号の計算

簡単にですがΣ記号を用いた計算の例題を示します。
$$(1) \sum_{k=1}^{5} 5　\qquad　(2)\sum_{k=1}^{5} k\qquad　(3)\sum_{k=1}^{3} 3k+2$$

 

解答は

$$(1) 5+5+5+5+5\quad A.25 \qquad (2)1+2+3+4+5\quad A.15 \qquad (3)5+8+11\quad A.24\qquad $$
となります。Σ記号の計算では公式で簡単に求めることが出来ます。
Σ記号の公式についても確認していきましょう！

Σ記号の公式

\(\displaystyle(1) \sum_{k=1}^{n}a=na\)

\(\displaystyle(2)\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle(3)\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle(4)\sum_{k=1}^{n}k^3=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2\)

公式を活用するとΣ記号の計算も簡単に解くことが出来るので、是非暗記してください！
最後にΣ記号が2つ並んでた時の計算の仕方について紹介します。

Σ記号が２つあるとき

Σ記号が２つある時とは、例えばこんな感じです！

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\)

Σ記号が2つ並んでいるだけなのにとても難しく見えますね…
これもΣ記号の性質を抑えていれば簡単に計算できるので、性質を抑えていきましょう！
Σ記号が2つの時の性質とは「内側のΣ記号から計算していく」です！

例題として次の問題を解いてみましょう！

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{3}2ij\)
まず、Σ記号の性質通り内側のΣ記号である\(\displaystyle\sum_{j=1}^{3}2ij\)から計算していきましょう！
今は\(i\)は関係ないのでΣ記号の外に出しておきます。

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}i\sum_{j=1}^{3}2j \)
今は\(i\)は関係ないのでΣ記号の外に出しておきましょう。
Σ記号の公式に従って解くと

\(\displaystyle\sum_{j=1}^{3}2j=2\times\frac{1}{2}\times3\times(3+1)\)

\(\quad\qquad = 12\)

よって

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}12i \)
これを計算すると

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}12i = 12\times\frac{1}{2}\times5\times(5+1)\)

\(\qquad\quad = 180\)

これで計算終了となります。
Σ記号が2つ並んだときでもルール通り解くと、そこまで難しくないと感じられたかと思います。

 

今回は一見難しそうに見えるΣ記号についてまとめてみました。
数学の世界では多用される記号ですのでこの機会にぜひしっかりと理解してください。

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