正規分布の期待値・分散・標準偏差の導出（証明）

正規分布

当ページは確率密度関数からの正規分布の平均・分散の導出過程を記しています。積率母関数の導出および積率母関数からの導出を読みたい人は、積率母関数を用いた正規分布の平均・分散の導出のページをご覧ください。

また、正規分布について詳しく知りたい方は、正規分布とは？でまとめていますので、そちらも併せてお読みいただければと思います。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

期待値の導出（証明）

期待値ってそもそも何？

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } xf(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (x-\mu+\mu)f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (x-\mu)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}dx+\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } \mu f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} dx+\mu\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } (\frac{x-\mu}{\sigma})\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{(\frac{x-\mu}{\sigma})}^2]} \sigma\frac{dx}{\sigma}+\mu\end{eqnarray*}\)

ここで\(y=\frac{x-\mu}{\sigma}\)とおくと\(\frac{ \mathrm{ d } y }{ \mathrm{ d } x }=\frac{1}{\sigma}　⇆　\mathrm{d}y=\frac{1}{\sigma}\mathrm{d}x\)

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } y\frac{1}{\sqrt{2π}}\exp{[-\frac{1}{2}{y}^2]} \sigma dy+\mu\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } -\frac{\sigma}{\sqrt{2π}}{(-\frac{1}{2} {y}^{2})}’\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}{y}^2} dy+\mu\\ &=&\left[- \frac{\sigma}{\sqrt{2π}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} {y}^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu\\ &=&\mu \end{eqnarray*}\)

分散の導出（証明）

分散ってそもそも何！？

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x^2f(x) dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\{{(x-\mu)}^2+2\mu x-{\mu}^2\}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+2\mu\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx-{\mu}^2\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx\\\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }{(x-\mu)}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2σ^2}}dx+{\mu}^2\\\)

\(\ y=\frac{(x-\mu )}{σ}とおく。\frac{dy}{dx}=\frac{1}{σ}⇄σdy=dx\ \ \)

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }{σ^{2}}{y^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi σ^2}}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}σdy+{\mu}^{2}\\ &=&\frac{σ^2}{\sqrt{2\pi }}\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }y^{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}y^2}dy+{\mu}^2\end{eqnarray*}\)

\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&σ^2\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy+{\mu }^2\\ &=&σ^2+\mu^2\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2} \end{eqnarray*}\)

標準偏差の導出（証明）

標準偏差ってそもそも何！？

標準偏差とは分散を平方根にとることによって得られる値である。

よって先ほど証明した平均、分散の値より導出する。

$$\begin{eqnarray*}SD(x)&=&\sqrt{V(X)}\\ &=&σ\end{eqnarray*}$$

いかかでしたでしょうか。正規分布について詳しく知りたい方は、正規分布とは？でまとめていますので、そちらも併せてお読みいただければと思います。

正規分布