正規分布の性質（再生性など）とその証明

正規分布

性質１：\(aX+b\)の分布も正規分布

正規分布の性質１の証明

証明

正規分布の確率密度関数を用いる。

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) のとき，確率密度関数は
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}$$

である。ここから\(Y=aX+b\)によるYの確率密度関数\(g(y)\)を求める。

そこで変数変換 \(y=ax+b\) を考えると、 \(x = \frac{y-b}{a}\) 、 \(g(y)=f(x)\frac{dx}{dy}\) となる。また、 \(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{a}\) であることから、

\begin{eqnarray}g(y) &=& f(x)\frac{dx}{dy} \\\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(\frac{y-b}{a}-μ)^2}{2σ^2}]}×\frac{1}{a}\\\\ &=&  \frac{1}{\sqrt{2πa^2σ^2}}\exp{[-\frac{(y-(aμ+b))^2}{2a^2σ^2}]}\end{eqnarray}

となる。この\(g(y)\)の密度関数は、平均 \(aμ+b\) ,分散\(a^2σ^2\)に従う。よって、確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ,σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b,a^2σ^2)\)に従う。

性質２：標準化による標準正規分布

性質３：正規分布の再生性

正規分布の再生性の証明（積率母関数を利用）

証明

再生性は、正規分布の積率母関数を使って証明できる。

互いに独立な確率変数\(X～N(μ_1,σ_1^2)\)と\(Y～N(μ_2,σ_2^2)\)をおく。

\(X\)と\(Y\)の積率母関数は、それぞれ

$$m_X(t) = {\mathrm{e}}^{\mu_1 t+\frac{{\sigma_1}^{2}t^2}{2}}$$

$$m_Y(t) = {\mathrm{e}}^{\mu_2 t+\frac{{\sigma_2}^{2}t^2}{2}}$$

となる。

従って、\(X+Y\)の積率母関数(モーメント母関数)は、

\begin{eqnarray}m_{X+Y}(t) &=& m_X(t)m_Y(t) \\\\ &=& {\mathrm{e}}^{\mu_1 +\frac{{\sigma_1}^{2}t^2}{2}}{\mathrm{e}}^{\mu_2 t+\frac{{\sigma_2}^{2}t^2}{2}} \\\\ &=& {\mathrm{e}}^{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{({\sigma_1}^{2}+{\sigma_2}^{2})t^2}{2}}\end{eqnarray}

と表せる。

これは、\(N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)\)の積率母関数である。

積率母関数は確率分布と1対1対応する（積率母関数の一意性）ので、\(X+Y\)の分布は\(N(μ_1+μ_2,σ_1^2+σ_2^2)\)となる。

正規分布