2016/12/26
2020/04/14
積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出
確率質量関数 | \(P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}\) |
期待値 | \(E(X)=λ\) |
分散 | \(V(X)=λ\) |
積率母関数 | \(M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}\) |
当ページは積率母関数からのポアソン分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率質量関数からの導出を読みたい人は、ポアソン分布の期待値と分散の導出のページをご覧ください。
「そもそも積率母関数ってなんなの?」という人は、積率母関数とは?モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。
※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。
積率母関数の導出
\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\mathrm{e}^{-λ}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{(\lambda \mathrm{e}^{t})}^{k}}{k!}\end{eqnarray*}\)
指数関数のマクローリン展開は、
\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\end{eqnarray*}\)
である。上式を\(x=\lambda \mathrm{e}^{t}\)と置換すると、
\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{\lambda \mathrm{e}^{t}}^k}{k!}\end{eqnarray*}\)
となる。これを用いて式変形を行う。
\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\mathrm{e}^{-λ}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}\\ &=&\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\end{eqnarray*}\)
積率母関数を用いた期待値の導出(証明)
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&{(\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}’\\ &=&\left.{(\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}’\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)
積率母関数を用いた分散の証明
\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left. {(\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}’\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}’\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(1+\lambda \mathrm{e}^{t})}\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&{\lambda}^2+\lambda\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&{\lambda}^2+\lambda-{\lambda}^2\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)
最新投稿記事
-
E資格・領域特化コース受講体験談:山田裕之さん 「E資格で基礎知識を、領域特化コースで実務への応用を」 2021年1月8日
-
AI導入とは?RPAとの関係、プロセス、事例、メリット、費用を詳細に解説 2020年12月7日
-
注目のAI開発企業11社!支援領域や提供方法など検証! 2020年10月28日
-
AI人材を育成できる研修プログラムを一挙紹介! 2020年10月20日
-
【2021年版】期待のAI資格11選!就職・転職にも使える! 2020年10月18日
-
JDLAとは?G検定、E資格の認定プログラム、合格者の会など紹介! 2020年10月14日
-
G検定(2020#3)受験申し込み開始、11月7日(土)実施-JDLA 2020年10月1日
-
【独占】コロナ禍で人材登録急増、アノテーション単月売上高は4倍超-パソナJOB HUB 2020年10月1日
-
E資格を転職に活用!評判とデータを徹底調査! 2020年9月29日
-
E資格とは?大注目のディープラーニングの資格を解説! 2020年9月29日
週間ランキング
【2021年版】コスパ重視のG検定対策!おすすめの本・講座・教材を一挙紹介! 2020年6月6日
【2021年版】期待のAI資格11選!就職・転職にも使える! 2020年10月18日
最弱オセロを初めて攻略した天才オセロ高校生。負け方を解説! 2020年7月31日
G検定に短期間・独学で合格した勉強法を解説! 2020年8月3日
注目のAI開発企業11社!支援領域や提供方法など検証! 2020年10月28日
効率重視のE資格対策!参考書・模擬試験・過去問を徹底解説! 2020年8月7日
G検定は難しい?難易度・合格ライン・問題を徹底解説! 2020年6月19日
MLOpsとは|定義、メリット、課題、ツール、ワークフローを分かりやすく解説 2020年9月18日
G検定に落ちた人、合格した人。勉強法の違いはどこにある? 2020年6月25日
E資格の難易度を、合格率と問題から徹底分析! 2020年8月11日
