2016/12/26
2020/04/14
積率母関数を用いたポアソン分布の期待値と分散の導出
| 確率質量関数 | \(P(X=k)=\frac{λ^k \mathrm{e}^{-λ}}{k!}\) |
| 期待値 | \(E(X)=λ\) |
| 分散 | \(V(X)=λ\) |
| 積率母関数 | \(M_{X}(t)=\mathrm{e}^{λ(\mathrm{e}^{t}-1)}\) |
当ページは積率母関数からのポアソン分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率質量関数からの導出を読みたい人は、ポアソン分布の期待値と分散の導出のページをご覧ください。
「そもそも積率母関数ってなんなの？」という人は、積率母関数とは？モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。
※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。
積率母関数の導出
\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{tk}\frac{λ^{k}\mathrm{e}^{-λ}}{k!}\\ &=&\mathrm{e}^{-λ}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{(\lambda \mathrm{e}^{t})}^{k}}{k!}\end{eqnarray*}\)
指数関数のマクローリン展開は、
\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\end{eqnarray*}\)
である。上式を\(x=\lambda \mathrm{e}^{t}\)と置換すると、
\(\begin{eqnarray*}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{\lambda \mathrm{e}^{t}}^k}{k!}\end{eqnarray*}\)
となる。これを用いて式変形を行う。
\(\begin{eqnarray*}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &=&\mathrm{e}^{-λ}\mathrm{e}^{\lambda \mathrm{e}^{t}}\\ &=&\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\end{eqnarray*}\)
積率母関数を用いた期待値の導出（証明）
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&{(\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}’\\ &=&\left.{(\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}’\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)
積率母関数を用いた分散の証明
\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left. {(\lambda \mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)})}’\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1))}’\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&\left. \lambda {(1+\lambda \mathrm{e}^{t})}\mathrm{e}^{t+\lambda (\mathrm{e}^{t}-1)}\right|_{t=0}\\ &=&{\lambda}^2+\lambda\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&{\lambda}^2+\lambda-{\lambda}^2\\ &=&\lambda\end{eqnarray*}\)
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