確率密度関数を用いたt分布の期待値の導出

公式の確認

まずは、t分布の公式を確認しましょう。

期待値の導出

$\begin{aligned} E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) \, dx \\ &= \int_{-\infty}^{0} xf(x) \, dx + \int_{0}^{\infty} xf(x) \, dx \\ &= \int_{-\infty}^{0} xf(x) \, dx - \int_{-\infty}^{0} xf(x) \, dx \\ &= 0 \end{aligned}$

補足：偶関数と奇関数

【定義】

$f(x)=f(-x)$が成立するとき、$f(x)$が偶関数であるといえる。

$f(x)=-f(-x)$が成立するとき、$f(x)$が奇関数であるといえる。

【性質】

$y=f(x)$が偶関数であるとき、のxy平面上にグラフを描画すると、x=0を軸に線対称となる。

$y=f(x)$が奇関数であるとき、のxy平面上にグラフを描画すると、原点を対称に線対称となる。

補足

$f(-x) = \int_{ - \infty }^{ \infty } \frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{{-x}^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}dx=\int_{ - \infty }^{ \infty } \frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{{x}^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}dx(=f(x))$

これにより、t分布の確率密度関数は偶関数である。

y=xは奇関数である。奇関数と偶関数の積は奇関数となる。g(x)が奇関数であるとき、

$\int_{ 0}^{a }g(x)dx=-\int_{-a}^{0}g(x)dx$