2020/03/07
2020/04/14
t分布の期待値と分散の導出
| 確率密度関数 | \(f(x)=\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}\) |
| 期待値 | \(E(X)=0\) |
| 分散 | \(V(X) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & (1<\gamma \leq2) \\ \frac{\gamma}{\gamma-2} & (\gamma>2) \end{array} \right.\) |
当ページは確率密度関数からのt分布の平均・分散の導出過程を記しています。
※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。
期待値の導出
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }xf(x)dx\end{eqnarray*}\)
\(\begin{eqnarray*}f(-x)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } \frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{{-x}^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } \frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{{x}^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}dx(=f(x))\end{eqnarray*}\) これより、t分布の確率密度関数は偶関数である。
y=xは奇関数である。奇関数と偶関数の積は奇関数となる。g(x)が奇関数であるとき、\begin{eqnarray*}\displaystyle \int_{ 0}^{a }g(x)dx=-\displaystyle \int_{-a}^{0}g(x)dx\end{eqnarray*}
定義
\(f(x)=f(-x)\)が成立するとき、\(f(x)\)が偶関数であるといえる。
\(f(x)=-f(-x)\)が成立するとき、\(f(x)\)が奇関数であるといえる。
性質
\(y=f(x)\)が偶関数であるとき、のxy平面上にグラフを描画すると、x=0を軸に線対称となる。
\(y=f(x)\)が奇関数であるとき、のxy平面上にグラフを描画すると、原点を対称に線対称となる。
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}=\displaystyle \int_{ – \infty }^{ 0 }xf(x)dx+\displaystyle \int_{ 0 }^{ -\infty }xf(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ 0 }xf(x)dx-\displaystyle \int_{ – \infty }^{ 0 }xf(x)dx\\ &=&0\end{eqnarray*}\)
分散の導出
\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty } x^{2}\frac{\Gamma(\frac{ν+1}{2})}{\sqrt{ν\pi}{\Gamma(\frac{ν}{2})}}{(1+\frac{x^2}{ν})}^{-(\frac{ν+1}{2})}dx\\ &=&\end{eqnarray*}\)
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