ARIMAモデル（自己回帰和分移動平均モデル）について分かりやすく解説！

時系列分析

この記事ではARIMAモデルについて解説していきます。

ARIMAモデルはAR、MAモデルに加えて差分系列の考えを組み合わせた集大成のようなモデルです。

AR、MA、ARMAモデルの知識を身に着けたうえでこの記事を読むと理解しやすいでしょう。

ARIMAモデルの概要

ARIMAモデルの定義

ARIMAモデルは時系列データのd階差分系列、\(  y_t – y_{t – d}\)をARMAモデルで表現するモデルです。

まずはARIMA\( (p,d,q) \)モデルの定義式を見てみましょう。

\( y_{t} – y_{t-d} =c + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q} \)

また以下のようにARIMA\( (p,d,q) \)モデルを表わすこともできます。こちらの方がよりARIMAモデルをシンプルに表現しています。

式の右辺がARモデルとMAモデルの組み合わせであることが分かります。

\( y_{t} – y_{t-d}=c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ q } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \ \ldots \ (1) \)

ARIMAモデルとは

上記のARIMA\( (p,d,q) \)モデル式\( (1) \)を見ながら、ARIMAモデルがどのようなものであるか考えていきます。

まずARIMAモデルが\(  y_t \)のd階差分系列にARMAモデルをあてはめたモデルであることを思い出してみましょう。

確かに\( (1) \)式の左辺はd階差分系列、右辺はARMA\((p,q)\)モデルによって表されています。

またARIMA\( (p,d,q) \)モデルの3つの変数\( p,d,q \)がそれぞれ\( p \)次ARモデル、\( d \)階差分系列、\( q \)次MAモデルを表していると分かります。

ARIMAモデルの表現

記事の冒頭でARIMAモデルはAR、MAモデルの集大成のようなモデルと述べました。

なぜARIMAモデルを集大成のようなモデルと表現したのでしょうか。

それはARIMAモデルを用いてAR、MA、ARMAモデルを表現できるためです。

実際にARIMAモデルの3つの変数\( p,d,q \)を変更することで、AR、MA、ARMAモデルを表現できることを確認してみましょう。

まずはARIMA\( (1,0,0) \)モデル式がどのようになるか考えます。

\( 0 \)次差分系列が\(y_t \)であることを考えると左辺は\(y_t \)になります。一方で右辺は\( 1 \)次ARモデルのみによって構成されます。

これを踏まえるとARIMA\( (1,0,0) \)モデル式は以下のように表されます。これは\( 1 \)次ARモデルですね。

\( y_{t}= c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i} \)

ARIMAモデルを用いてMAモデル、ARMAモデルを表現することも考えてみます。

例えばARIMA\( (0,0,1) \)モデルは１次MAモデルになります。またARIMA\( (2,0,1) \)モデルは、ARMA\( (2,1) \)モデルのことを表します。

ARIMAモデルの変数\( d \)が\( 0 \)の時、ARIMAモデル式の左辺が\(y_t \)になることを考えるとARIMA\( (0,0,1) \)、ARIMA\( (2,0,1) \)はそれぞれ以下のように表すことができます。

\( y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 1 } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \)

\( y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 2 } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 1 } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \)

確かにARIMAモデルでAR、MA、ARMAモデルを表現できると確認できました。

まとめ

今回はARIMAモデルについて説明してきました。

ARIMAモデルについて２つのことを確認しましょう。

一つはARIMA\( p,d,q \)モデルの3つの変数がそれぞれ\( p \)次ARモデル、\( d \)次差分系列、\( q \)次MAモデルを示しているということです。

またARIMAモデルがAR、MAなどのモデルを表現できる一般的なモデルであるということを忘れないようにしましょう。

沖本さんの「経済・ファイナンスデータの計量時系列分析」を参考にしました。

時系列分析