ARIMAモデル（自己回帰和分移動平均モデル）について分かりやすく解説

ARIMAモデルとは

ARIMAモデル（AR Integrated MA model / 自己回帰和分移動平均モデル）はARモデル、MAモデルに加えて差分系列の考えを組み合わせた時系列モデルです。

もう少し詳しく説明すると、時系列データのd階差分系列、$y_t - y_{t - d}$をARMAモデルで表現するモデルが、ARIMAモデルです。

定義式は次の通りです。

$y_{t} - y_{t-d} =c + \phi_{1}y_{t-1} + \phi_{2}y_{t-2} + \cdots + \phi_{p}y_{t-p} + \varepsilon_{t} + \theta_{1}\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_{q}\varepsilon_{t-q}$

また以下のようにARIMA$(p,d,q)$モデルを表せます。

$y_{t} - y_{t-d}=c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ q } \theta_{i}\varepsilon_{t-i} \ \ldots \ (1)$

ARIMAモデルと他モデルとの関係

ARIMAモデルの3つの変数$p,d,q$を変更することで、ARモデル、MAモデル、ARMAモデルを表現できることを確認してみましょう。

まずはARIMA$(1,0,0)$モデル式がどのようになるか考えます。

$0$次差分系列が$y_t$であることを考えると左辺は$y_t$になります。一方で右辺は$1$次ARモデルのみによって構成されます。

これを踏まえるとARIMA$(1,0,0)$モデル式は以下のように表されます。

$y_{t}= c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ p } \phi_{i}y_{t-i}$

これは$1$次ARモデルです。

ARIMAモデルを用いてMAモデル、ARMAモデルを表現することも考えてみます。

例えばARIMA$(0,0,1)$モデルは１次MAモデルになります。

$y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 1 } \theta_{i}\varepsilon_{t-i}$

ARIMA$(2,0,1)$モデルは、ARMA$(2,1)$モデルになります。

$y_{t} =c + \varepsilon_{t} + \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 2 } \phi_{i}y_{t-i} +\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ 1 } \theta_{i}\varepsilon_{t-i}$

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