時系列分析のARモデルとは？

時系列分析

この記事では時系列モデルの一つ、ARモデルについて紹介します。

ARモデルは自己回帰モデルと呼ばれ、現在の値を過去のデータを用いて回帰するモデルです。失業率といった経済指標、また株価の分析などに用いられます。

このARモデルはARMA、ARIMA、SARIMAモデルなどの基礎にもなっている重要な時系列モデルです。今回はそんなARモデルについて学んでいきましょう。

ARモデルの概要

ARモデルとはどんなモデルなのでしょうか。

記事の冒頭で、ARモデルは現在の値に対して過去のデータを用いて回帰すると説明しました。より正確に説明すると、時点\( t \)での値\( y_t \)を時点\( t \)よりも過去のデータ\( y_{t-1} , y_{t-2} , … \)を用いて回帰します。

これからはそんなARモデルについて式を見ながら理解を深めます。

1次ARモデル

\( y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t \)

これは最もシンプルなARモデルです。時点\( t \)におけるデータ\( y_t \)が定数項\( \phi_0 \)、一時点前のデータ\( y_{t-1} \)、攪乱項\(\varepsilon_t \)によって表されていますね。

時点\( t \)に対して、1時点前までのデータ\( y_{t-1} \)を用いて回帰するARモデルを1次ARモデルと呼びます。ARモデル(1)とも表現されます。この1次ARモデルは単回帰モデルによく似ていますね。パラメータ\( \phi_0 , \phi_1\)は最小二乗法で求めることができます。

では時点\( t \)におけるデータ\( y_t \)を1時点前だけでなく、2時点前、3時点前、…のデータ\( y_{t-1} , y_{t-2} , y_{t-3} , … \)を用いて回帰したいときはどうするのでしょうか？

そんな時は\( j \)時点前までのデータを用いる\( j \)次ARモデルについて考えてみましょう。

\( j \)次ARモデル

\( y_t \)を回帰するために\( j \)時点前までのデータ\( y_{t-1} , y_{t-2} , … , y_{t-j} \)を用いるとき、\( j \)次ARモデルと呼びます。以下の\( j \)次ARモデルの式を確認してみましょう。

\( y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + … + \phi_jy_{t-j} + \varepsilon_t \)

確かに\( j \)時点前までのデータ\( y_{t-1} + … + y_{t-j} \)を用いて\( y_t \)を表しています。

\( \phi_i \)は\( y_{t-i} \)に対するパラメータです。このパラメータ\( \phi_i \)は最小二乗法のほかに最尤法で求められることが知られています。

まとめ

この記事ではARモデルがどのようなモデルであるか、その概要について説明しました。

次回の記事ではARモデルの統計量について1次ARモデルを用いて考えていきます。

時系列分析