時系列分析におけるARモデル(自己回帰モデル)とは

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ARモデルとは

ARモデル(AutoRegressive model)自己回帰モデルと呼ばれ、現在の値を過去のデータを用いて回帰する時系列モデルです。失業率といった経済指標、また株価の分析などに用いられます。

ARモデルはARMAモデルARIMAモデルSARIMAモデルなどの基礎にもなっている重要な時系列モデルです。

「現在の値を過去のデータを用いて回帰する」をもう少し詳しく説明すると、時点t t での値yt y_t を時点t t よりも過去のデータyt1,yt2,... y_{t-1} , y_{t-2} , ... を用いて回帰するということです。

1次ARモデル

最もシンプルなARモデルです。

時点t t におけるデータyt y_t が定数項 ϕ0 \phi_0 、一時点前のデータyt1 y_{t-1} 、攪乱項εt\varepsilon_t を使って以下のように表されます。

yt= ϕ0+ϕ1yt1+εt y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t

時点t t に対して、1時点前までのデータyt1 y_{t-1} を用いて回帰するARモデルを1次ARモデルと呼びます。

ARモデル(1)とも表現されます。この1次ARモデルは単回帰モデルによく似ており、ラメータ ϕ0,ϕ1 \phi_0 , \phi_1は最小二乗法で求めることができます。

1次ARモデルの詳細は「1次ARモデルの特徴や統計量について」をご確認ください。

j j 次ARモデル

時点t t におけるデータyt y_t を1時点前だけでなく、2時点前、3時点前、...のデータyt1, yt2, yt3,... y_{t-1} , y_{t-2} , y_{t-3} , ... を用いて回帰したいときに用いるのが、j j 次ARモデルです。

yt y_t を回帰するためにj j 時点前までのデータyt1, yt2,...,ytj y_{t-1} , y_{t-2} , ... , y_{t-j} を用いるとき、j j 次ARモデルと呼びます。以下のj j 次ARモデルの式を確認してみましょう。

yt= ϕ0+ϕ1yt1+...+ ϕjytj+εt y_t = \phi_0 + \phi_1y_{t-1} + ... + \phi_jy_{t-j} + \varepsilon_t

ϕi \phi_i yti y_{t-i} に対するパラメータです。このパラメータϕi \phi_i は最小二乗法のほかに最尤法で求められることが知られています。

n自モデルの詳細は「n次ARモデルの特徴や統計量について」をご確認ください。

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カテゴリ: 時系列分析

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