積率母関数を用いた二項分布の平均・分散の導出

二項分布

ページは積率母関数(モーメント母関数)から二項分布の平均・分散の導出過程を記しています。確率質量関数からの導出を読みたい人は、二項分布の期待値・分散の導出のページをご覧ください。

「そもそも積率母関数ってなんなの？」という人は、積率母関数とは？モーメントの求め方も解説を参考にして下さい。

確率質量関数	$$P(X=k)=\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}$$
期待値	$$E(X)=np$$
分散	$$V(X)=np(1-p)$$
積率母関数	$$M_{X}(t)={(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n$$

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

※\(\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}\)は\(_n C_k\)と同義

二項分布の積率母関数（モーメント母関数）の導出

\(\begin{eqnarray*}M_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tk})\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}P(X=k)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{tk}\ _n C_k p^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\ _n C_k {(\mathrm{e}^tp)}^{k}{(1-p)}^{n-k}\\ &=&{(\mathrm{e}^tp+1-p)}^n \end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた期待値の導出（証明）

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{M_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&n{(\mathrm{e}^tp+1-p)}^{n-1}p\mathrm{e}^t|_{t=0}\\ &=&n{(1-p+p)}^{n-1}p\\ &=&np\end{eqnarray*}\)

積率母関数を用いた分散の証明

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{M_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&{(np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t)}’|_{t=0}\\ &=&n(n-1)p(\mathrm{e}^{t}p+1-p)^{n-2}p\mathrm{e}^t+np(\mathrm{e}^tp+1-p)^{n-1}\mathrm{e}^t\\ &=&n(n-1)p^2+np\\\\ V(X)&=&E(X^2)-{E(X)}^2\\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}\)

 

二項分布について、さらに詳しくは二項分布のわかりやすいまとめをご覧いただければと思います。

二項分布