カイ二乗分布の期待値と分散の導出

カイ二乗分布

確率密度関数（自由度k）	\(f(x)=\frac{x^{{\frac{k}{2}}-1} \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})}\)
期待値	\(E(x)=k\)
分散	\(V(x)=2k\)
積率母関数	\(\begin{eqnarray*}M_{X}(t)&=&{(\frac{1}{1- 2 t})}^{\frac{k}{2}}\end{eqnarray*}\)

当ページは確率密度関数からのカイ二乗分布の平均・分散の導出過程を記しています。

積率母関数の導出及び、積率母関数からの期待値・分散の導出は、積率母関数を用いたカイ二乗分布の期待値・分散の導出をご覧ください。

カイ二乗分布について詳しくは、カイ二乗分布のわかりやすいまとめにて、まとめました。

※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。

期待値の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }xf(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x \frac{x^{{\frac{k}{2}}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}){2}^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{k x^{(\frac{k}{2}+1)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{\frac{k}{2}+1}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&k \end{eqnarray*}\)

分散の導出

\(\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty }x^{2} \frac{x^{\frac{k}{2}-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})2^{\frac{k}{2}}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{{\frac{k}{2}}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+1)2^{-1} 2^{\frac{k}{2}+1}}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\frac{k}{2}^{-1}{(\frac{k}{2}+1)}^{-1}\Gamma(\frac{k}{2}+2)2^{-2} 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\displaystyle \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}x^{(\frac{k}{2}+2)-1}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2}+2) 2^{\frac{k}{2}+2}}dx\end{eqnarray*}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}&=&\frac{k}{2}(\frac{k}{2}+1) 2^{2}\\&=&k(k+2)\\\\V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^2\\ &=&k(k+2) -{k}^2\\ &=&2k\end{eqnarray*}\)

カイ二乗分布