F分布とは？

F分布

確率変数\(X, Y\)について、\(X\)が自由度\(n\)のカイ二乗分布に従うとし、確率変数\(Y\)が自由度\(m\)のカイ二乗分布に従うとします。また、\(X\)と\(Y\)は互いに独立であると仮定します。このとき、

$$ F = \frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}} $$

と表される\(F\)が従う分布を、F分布といいます。

確率密度関数	\(f(z) = \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}}\)
期待値	\(E(Z) = \frac{m}{m-2} \)
分散	\(V(Z) = \frac{2m^{2}(n+m-2)}{n(m-2)^2 (m-4)} \)

自由度別のF分布のグラフ

自由度別のF分布の確率密度関数のグラフです。

F分布の確率密度関数

自由度\(n, m\)のF分布に従う確率変数\(Z\)の確率密度関数を\(f(z)\)とおきます。このとき、\(f(z)\)は次のように表されます。

$$ f(z) = \frac{(\frac{n}{m})^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})} \frac{z^{\frac{n}{2}-1}}{(1+\frac{n}{m}z)^{-\frac{n+m}{2}}} $$

確率密度関数の導出については、こちらをご参照ください→「」

 

F分布