時系列分析の基本的なモデルをわかりやすく解説

時系列分析

ライター：古澤嘉啓

本記事では時系列分析とはどのようなものなのか、代表的な時系列モデルなどについてわかりやすく解説をしていきます。時系列分析は統計学において重要なテーマであり、統計検定やアクチュアリー試験などでも頻繁に登場します。

今回はそんな時系列分析についての理解を深めていきましょう。

1 時系列分析とは
2 時系列データの扱い方
3 時系列モデルについて

時系列分析とは

まず、時系列分析とは一体なんなのでしょうか？

時系列分析とは、時間の経過に伴い変化するデータを分析することです。この時の経過とともに観察されたデータのことを時系列データと呼びます。

例えば、日によって上下する株価、年々増加する二酸化炭素濃度はどれも時系列データです。確かにどのデータも時間の経過とともに観察されていますね。他にも我々の身の回りには様々な時系列データがあふれています。

時系列データの例）

・あるコンビニの毎月の売り上げ
・年齢とともに変化する死亡確率
・音声データ
・映像データ

この記事では時系列分析を理解するために必要な時系列データの扱いに触れます。その後、複数の時系列モデルについて簡単な説明をします。

時系列データの扱い方

はじめに時系列データがどのように扱われているかについて考えていきましょう。

先ほど触れたように時系列分析は時間の経過とともにデータがどのように変化しているかを分析します。

時系列データは時間的に連続しているという特性を考慮するために特殊な変換がなされることがあります。以下では、そんな時系列データの処理について触れていきます。

原系列

時系列データは原系列とも呼ばれ、式では\( y_t \)という形で表されることが多いです。原系列の「原」は処理される前といった意味で用いられています。

差分系列、階差系列

例えば株価が一日でどれだけ変化しているかについて分析したいとします。今日の株価と昨日の株価の差を考えたくなりますね。そんな時は、時間差をとった株価のデータ\( y_t – y_{t – 1} = {\Delta}y_t \)を用いるとよいでしょう。このように、一時点前のデータとの差をとった時系列データのことを差分系列、階差系列と呼ばれます。

対数系列

対数変換された時系列データは対数系列と呼ばます。数式では\( log(y_t) \)と表します。

対数系列は、バラツキが大きすぎる時系列データを扱いやすくするために用います。

例えば、ビットコインの価格などの極端な動きをするデータに対数系列を用います。

対数差分系列

ビットコインの価格が時間によってどれだけ変化しているか、その変化率について分析したいとしましょう。そんなときに用いるのが対数差分系列です。\( {\Delta}log(y_t ) – {\Delta}log(y_{t-1} ) \)と表すこともできます。この対数差分系列は、変化率　\( \frac{ y_t – y_{t – 1} }{ y_{t – 1} } \)を近似したものとなっています。