積率母関数を用いた正規分布の平均・分散の導出

正規分布

確率密度関数	$f(X) = \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}]}$
期待値	$E(X)=μ$
分散	$V(X)=σ^2$
標準偏差	$SD(X)=σ$
積率母関数	${\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}$

当ページは積率母関数(モーメント母関数)から正規分布の平均・分散の導出（証明）過程を記しています。確率密度関数からの導出を読みたい人は、正規分布の平均・分散・標準偏差の導出のページをご覧ください。

また、正規分布の性質についてはこちらに記述しております。

そもそも積率母関数ってなんなの？という人は、積率母関数とは？モーメントの求め方も解説をご覧下さい。

正規分布の積率母関数の導出

$\begin{eqnarray*}m_X(t)&=&E(\mathrm{e}^{tX})\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-\mu)^2}{2σ^2}+tx]}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}(x^2-2\mu x+{\mu}^{2}-2{\sigma}^{2}tx)]}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{1}{2σ^2}({(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))}^{2}+2\mu{\sigma}^{2}t+{\sigma}^{4}t^{2})]}dx\\ &=&\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}+\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}]}dx\\ &=&{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\displaystyle \int_{ – \infty }^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\exp{[-\frac{(x-(\mu+{\sigma}^{2}t))^2}{2σ^2}]}dx\\ &=&{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\end{eqnarray*}$

積率母関数を用いた期待値の導出

$\begin{eqnarray*}E(X)&=&\left.\frac{d{m_x}(t)}{dt}\right|_{t=0}\\ &=&\left.{(\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2})}'{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\right|_{t=0}\\ &=&\left.(\mu+{\sigma}^{2}t){\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\right|_{t=0}\\ &=&\left.\mu+{\sigma}^{2}t\right|_{t=0}\\ &=&\mu\end{eqnarray*}$

積率母関数を用いた分散の導出

$\begin{eqnarray*}E(X^2)&=&\left.\frac{d^2{m_x}(t)}{dt^2}\right|_{t=0}\\ &=&\left.{(\mu+{\sigma}^{2}t)}'{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}{\mathrm{e}}^{\mu t+\frac{{\sigma}^{2}t^2}{2}}\right|_{t=0}\\ &=&\left.{{\sigma}^{2}}+{(\mu+{\sigma}^{2}t)}^{2}\right|_{t=0}\\ &=&{\sigma}^{2}+{\mu}^{2}\\ V(X)&=&E(X^2)-{(E(X))}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2}+{\mu}^{2}-{\mu}^{2}\\ &=&{\sigma}^{2}\end{eqnarray*}$

分散ってそもそも何！？

（正規分布についてさらに詳しく知りたい方はこちらをご覧ください。）

正規分布